کاربردهای بودپذیر منطق فازی در موسیقی

نویسنده: ایمن ایلماز / ضیا تلاتار

. درآمد

منطق فازی تنها برای کاربردهای کامیاب مهندسی به‌وجود نیامده است بلکه در حوزه‌های اقتصاد، جامعه‌شناسی، مسائل دفاعی، پزشکی، سیستم‌های نظامی و ... کاربردی شده است؛ اما شمار پژوهش‌های پیرامون کاربرد منطق فازی در پیشرفت فعالیت‌های هنری چندان زیاد نیست.

تاکنون تلاش و تکاپوی اندکی برای کاربردی‌سازی منطق فازی در موسیقی انجام پذیرفته است. در نسخ‍ۀ دستنویسی که منتشر نیز نشده است [1]، تسانگ چگونگی استفاده از منطق فازی در بداهه‌نوازی در موسیقی از را به بحث نهاده است. در آن پژوهش، تسانگ از پژوهش‌های ریاضیات‌محوری که السی [2] بدان رسیده بود، بهره برد. جدا از این‌دو، لندی [3]، استفادۀ بودپذیر را از منطق فازی در آهنگسازی، خاطرنشان کرد، هرچند هیچ طرح پیشنهادی ریاضیات جامدی برای تأیید استدلال‌های خویش، ارائه نکرد. از سوی دیگر کادیز [4] و [5]، حول امکان کاربردی شدن منطق فازی در نگاشت شنیداری/ دیداری و تلفیق صوت بحث کرد. کادیز در کارهایش به آهنگسازی و تئوری هارمونیزاسیون نپرداخت، در عوض تلاش کرد ساختارهای دیداری و شنیداری همزمان و مرتبط با یکدیگری را (مانند آنچه برنام‍ۀ Microsoft Media Player  یا Winamp اجرایی می‌کنند) با بهره‌گیری از منطق فازی بنا نهد.

در این پژوهش، نویسندگان کوشیده‌اند منطق فازی کاربردی را با الگوریتم ژنتیک درآمیزند تا توالی و پیشروی آکورد «همراه»  را باتوجه به ملودی تعیین و مشخص کنند. در این پژوهش اندکی پیشین‍ۀ ریاضیاتی منطق فازی بیان می‌شود و کاربرد عملی و ممکن از منطق فازی در تکنیک کنترپوان دوصدایی سبک باروک و رنسانس فرا به بحث نهاده خواهد شد.

2. بیان مسئله

حوزۀ پژوهش پیرامون موسیقی با کمک رایانه، به سه بخش تقسیم می‌شوند: هارمونیزاسیون و ارکستراسیون، بداهه‌نوازی و آهنگسازی. راه حل هم‍ۀ مشکلات این مسیر، تئوری هارمونی (که در حقیقت تئوری‌های چندگانه‌ای برآمده از سده‌ها سیر تکاملی موسیقی است) مجموع‍ۀ ابزارهای کامل و استواری را برای پژوهشگران فراهم آورده است. یک مسئل‍ۀ مهم بازشناسی ورودی‌ها، محدودیت‌ها و خروجی‌های منتظره است که راه‌حل آنها نیز می‌تواند با به‌کاربردن قوانین این تئوری‌های محدودکننده، فراچنگ آید. افزون بر اینها، می‌توان تغییرات و چاشنی‌هایی را، به‌وسیل‍ۀ درک و به‌کار بستن مفاهیم سبک‌شناسان‍ۀ برخی قوانین و تکنیک‌ها، بدان افزود.

مطابق آنچه فرایاد آمده، هارمونیزاسیون (ارکستراسیون) چیزی جز تعیین مجموع‍ۀ صداهای همزمان و همگام برای یک ملودی نیست. به یقین این مفهوم محدودیت‌هایی به‌دنبال دارد. برخاسته از همین محدودیت‌ها، گهگاه از این مسئله به هارمونیزاسیون با محدودیت‌ها یاد می‌شود. برخی پژوهشگران نیز تلاش قابل توجهی برای حل این مسئله نموده‌اند.

همگام با پیشرفت تئوری موسیقی [6]، قوانین هارمونی به‌ویژه از اوایل قرن بیستم، پا به جادۀ تکامل نهاد. هرچه این قوانین در سدۀ هفده میلادی سخت و خشک مورد استفاده قرار می‌گرفت، بعدها تئوریسین‌های موسیقی، بر انعطاف و لطافت آن افزودند. افزون بر قوانین تحمیل‌شده به‌وسیل‍ۀ تئوری موسیقی، محدودیت‌های دیگری ناشی از این امر که ملودی نهایی باید مناسب اجراهای زنده باشد، سر برآورد. برای نمونه، یک پارتیتور آوازی فرای صدای طبیعی خواننده، حتی اگر تمام قوانین هارمونیک و ملودیک تحمیل‌شده به‌وسیل‍ۀ تئوری را رعایت می‌کرد، بی‌مفهوم و بی‌معنی خواهد بود. محدودیت‌های مشابهی نیز برای دیگر دسته‌بندی‌ها (بداهه‌نوازی و آهنگسازی) صادق‌اند. جدول‌های 1 و 2 مسائل و مشکلات هارمونیزاسیون و بداهه‌نوازی را در مقام ورودی‌ها و محدودیت‌ها به شرح کشیده است. به‌دلیل کمبود فضا و نیز پیچیدگی، مسائل و مشکلات مربوز به آهنگسازی در این پژوهش نیامده است. نکت‍ۀ قابل توجه در اینجا، اندک تفاوت اصطلاح‌شناسی موسیقی دوران باروک و رنسانس فرا و موسیقی مدرن امروز است: مد به‌جای گام، کانتس فرمس به‌جای ملودی اصلی و ... . چنانکه از جدول 1 بر می‌آید، پیشروی آکورد همیشه ممکن نیست. سنجش پیشروی آکورد برای یک ملودی، نخستین گام‌های هارمونیزاسیون است. جدول 2 نیز حاصل پژوهش و بحث تسانگ حول مسئل‍ۀ بداهه‌نوازی در سبک جاز است.

3. منطق فازی

الف. تئوری

منطق فازی فرمی از منطق چند مقداری است که در آن به‌جای پاسخ قطعی و ثابت، هدف یافتن و دستیابی به پاسخ تقریبی و حدسی است. بر خلاف منطق‌های پیشین، که بر پای‍ۀ منطق دومقداری بنا شده است و پاسخ آری و نه تعیین‌کننده است، متغیرهای منطق فازی در میان صفر و یک، به‌دنبال صحیح‌ترین پاسخ می‌گردد.

برای یک مجموع‍ۀ فازی از مؤلفه‌ها، هر مؤلفه درج‍ۀ عضویتی در مجموعه دارد. این درجه به‌صورت دلخواه از صفر تا یک عمل می‌کند و با تابع عضویت یعنی m(x) نشان داده می‌شود که x دامنه یا جهان گفتمان مجموع‍ۀ هم‍ۀ مؤلفه‌هاست. هر مؤلف‍ۀ x مقدار تابع عضویت m(x) خودش را داراست.

مجموعه‌های فازی در دامنه‌های یکسان، می‌توانند با استفاده از رابطه‌های منطقی، مانند «و» و «یا» شکل بپذیرند. روابط ریاضیاتی برای مجموع‍ۀ C از مجموعه‌های A و B به‌عبارت زیر است:

افزون بر این، حکم‌های «اگر، پس و ...» برای به‌دست دادن مجموع‍ۀ فازی خروجی در یک دامنه از مجموع‍ۀ فازی ورودی در دامنه‌ای دیگر، می‌تواند مورد ارزیابی قرار گیرد. حکم‌ها به عنوان روابط فازی، شناخته می‌شوند. به‌صورت ریاضیاتی، فرآیند یک حکم بدین قرار است:

اگر A، B باشد:

کهB  مجموع‍ۀ خروجی فازی در y است؛ A مجموع‍ۀ ورودی فازی در u است و R رابط‍ۀ فازی در دامن‍ۀ (u,y).

ب. کاربرد در موسیقی

چنانکه از تئوری فازی در بخش پیشین برآمد، سیستم تصمیم‌گیری بازخورد فازی ممکن است به‌منظور «همراهی» دینامیکی تون، مورد استفاده قرار گیرد. نخستین گام، ایجاد یک مدل فازی ارتباطی قوانین هارمونی اصلی به‌وسیل‍ۀ جداسازی آنها به مجموعه‌های مناسب خواهد بود. اکنون، ورودی‌ها می‌توانند در مجموعه‌های فازی طبقه‌بندی شوند (فرآیند فازی‌سازی) و خروجی‌ها به‌وسیل‍ۀ بیرون آمدن از مجموع‍ۀ قبلی و رفتن به مجموعه‌های اسکالر (فرآیند خروج از فازی‌سازی)، نتیجه‌ای مطابق و هماهنگ با ورودی‌ها بدهند. پس این سیستم فازی، تابعی را میان مجموعه‌های معلوم تخمین می‌زند، بدون مدل ریاضیاتی نشان‌دهندۀ چگونگی وابستگی خروجی‌ها به ورودی‌ها. برای این منظور شماری از مجموعه‌های فازی مرجع (اصلی) می‌تواند برای برازیدن هریک از مقدار‌های پارامتری، به‌کار گرفته شود. این مدل می‌تواند با قوانینی که معرفی شد حفظ شود و یک صدادهی «همراه» مناسب برای مقدار‌های جاری در ورودی‌ها بیافریند. در قسمت بعد، مثال‌هایی به بحث کشیده خواهند شد تا کاربرد منطق فازی در موسیقی به‌ویژه مسئل‍ۀ واداشته و اجباری‌شدۀ هارمونیزاسیون، عینی و آشکار گردد.

4. یک مثال ویژه

الف. پیشین‍ۀ نظری موسیقی

تئوری موسیقی غربی بر 12 تون بر قرار است: C، C# (یا Db)، D، D# (یا Eb)، E، F،F# (یا Gb)، G، G# (یا Ab)، A، A# (یا Bb) و B. مد/ گام، فضای کلی حاکم بر یک قطع‍ۀ موسیقایی را تعیین می‌کند و ملودی یک قطع‍ۀ موسیقایی شامل همین عنصرها و تون‌های گفته‌شده است. به‌طور مشابه، «همراه» ملودی اصلی، باید شامل عنصرها و مؤلفه‌هایی از همان زیرمجموع‍ۀ اصلی باشد. رعایت این موارد، به حکم تئوری موسیقی بایاست تا نخست استفادۀ همزمان تون‌های همخوان را ارتقا دهد و سپس تون‌های ناموزون را تنزل بخشد.

جدول 1. تعریف مسئله برای هارمونیزاسیون آوازی و ارکستراسیون

جدول 2. تعریف مسئله برای بداهه‌نوازی

برای کاربردهای موسیقایی به‌کمک رایانه، عموماً پروتکل رابط دیجیتال آلات موسیقایی (MIDI) مورد استفاده قرار می‌گیرد. این پروتکل نه‌تنها نمایش هم‍ۀ اتفاقات موسیقایی یک قطعه را فراهم می‌آورد بلکه یک فضای 16 خطی را برای شبیه‌سازی اجراهای ارکسترال تدارک می‌بیند. از میان شمار بسیار ویژگی‌های استاندارد MIDI برای زمان، که ویژگی مهمی برای ماست، کوک شایان گفتن است. چنانکه در جدول 3 دیده می‌شود، استاندارد نت‌هایی تقریباً برای ده و نیم اوکتاو (بیش از محدودۀ پیانوهای معمول) را نشان می‌دهد که این مقدار‌ها برای کاربری‌های حسابی و حسابگرانه مناسب است

دیگر مفهوم مهم تئوری موسیقی، فاصله است. لیواین، تئوریسین موسیقی جاز می‌گوید: «چنانکه اتم‌ها ساختمان یک ماده را می‌سازند، فاصله‌ها ساختمان ملودی و هارمونی را بنا می‌نهند.» با توجه به دو نت، فاصله در بنیاد، فارغ از جایگاه نت‌ها روی خط حامل است. چنانکه در شکل 1 نشان داده شده، فاصل‍ۀ میان دو نت در یک موقعیت یکسان، صفر نیست، بلکه یک است.

این نکته باید مورد توجه قرار گیرد که فاصل‍ۀ میان دو نت نه جدا از مقدار‌های گام MIDI نت‌هاست نه 2/1 آن. رابطه چنانکه در شکل 3 آمده است، پیچیده است. برای نمونه در یک اوکتاو ثابت، فاصله و گام متفاوت میان C  و E به‌ترتیب 2 و 4 است. به‌عبارت دیگر تفاوت گام میان E و G، 3 است در حالیکه تفاوت فاصل‍ۀ آنها 2 است. بنابر این رابط‍ۀ فاصله- گام باید در طول پیاده‌سازی و اجرای هر نرم‌افزار موسیقایی به‌دشواری اداره و کنترل شود.  

ب. کنترپوان دوصدایی نت در مقابل نت

در تئوری موسیقی، کنترپوان رابط‍ۀ دو یا چند صوت است که به طور موزونی به یکدیگر وابسته‌اند. برآمده از اصطلاح لاتین punctus contra punctum (به معنای نت در مقابل نت) و با گسترش در رنسانس فرا، کنترپوان، فعالیت های معمول دورۀ باروک را از آن خود کرد. کنترپوان در بنیاد بر مبنای ساختار ملودی «همراه»، با عنایت به یک ملودی اصلی به نام کانتس فرمس استوار می‌باشد. ابتدایی ترین تکنیک کنترپوان، نت در مقابل نت است که هر نت در «همراه» در مقابل یک نت معین از کانتس فرمس افزوده می‌شود.

بر مبنای مدهای وابسته به موسیقی کلیسا، به‌طور کلی قوانین کنترپوان به‌طور سختگیرانه‌ای عدم اجرای برخی کارها را دیکته می‌کند و برخی امکانات در ارتباط با کارهایی که باید انجام پذیرد، ارائه می‌دهد. به دلیل چنین  رفتاری، منطق فازی را مناسب این تکنیک می دانیم.

قوانین کنترپوان فاصله‌های موزون و ناموزون را به‌طور اساسی تعریف می کنند. فواصل موزون و ناموزون در شکل 2 به صورت هارمونیک دیده می‌شوند. برای مثال، نت C در هم آهنگی کامل با نتG  است در حالی که با D  یا B  ناموزون است. این بدان معناست که با درنظرگرفتن نت C  در  کانتس فرمس، افزودن نت های D و B  به‌صورت «همراه»، مناسب نیست. این نوع قوانین را می توان به عنوان قوانین هارمونی دسته‌بندی کرد.

جنب‍ۀ دیگری از کنترپوان، ساختار ملودی است. با افزودن یک نت جدید به «همراه»، رابطه آن با نت پیشین نیز باید مدنظر قرار گیرد. این رابطه مجدداً با فواصل میان نت‌ها، تشخیص داده می شود. معنای موزون و ناموزون با اندکی تفاوت مانند قوانین هارمونی است. برای نمونه، فاصل‍ۀ 4 به صورت هارمونیک ناموزون است، در صورتی که به صورت ملودیک موزون درنظر گرفته می‌شود. ما این مقررات را به عنوان مقررات ملودی دسته بندی می کنیم. در حین ساخت ملودی «همراه»، گام‌های کوچکی باید تا جای امکان مقدم انگاشته شوند. ما این قانون را، قانون قدم - اندازه می نامیم.

سایر مجموعه قوانین، روابط رفتاری پارتیتورهای متفاوت را معنا می‌کند. گرایش کلی، خلق حرکت معکوس میان پارتیتورهاست. ( مثلا اگر کانتس فرمس بالا رود، «همراه» باید پایین بیاید). علاوه بر این، پارتیتورها نباید از یکدیگر گذر کنند. اینچنین قوانینی را می‌توان قانون حرکت معکوس نام نهاد.

با تمامی این محدودیت‌ها، مسئل‍ۀ افزودن یک نت با تکنیک کنترپوان دوصدایی نت در مقابل نت را می‌توان به صورت تصویری همانند شکل 3 تعریف کرد. برای بررسی احتمال P₄، عملیات نشان داده در شکل 4 را باید دنبال کرد.

گام بعدی به‌وجود آوردن تابع‌های عضویت واقعی‌ است.توابع ضویت برای قوانین هارمونی را می‌توان به‌کمک روابط موزونی و ناموزونی شکل 2 تعریف نمود. با درنظرگرفتن تفاوت‌های میان تعاریف موزونی ملودیک و هارمونیک، توابع عضویت برای قوانین ملودی ایجاد می‌شود.

مثالی که با این روش پیشنهادی حاصل می‌آید، در شکل 6 به تصویر کشیده شده است. در اینجا یک پارتیتور سوپرانو به‌عنوان ورودی (کانتس فرمس) داده می‌‌شود و «همراه» آلتو مرتبط با آن ساخته می‌شود.

5. نتیجه‌گیری

در این پژوهش، کوشیدیم تا کاربردهای بودپزیر منطق فازی را در موسیقی، بشناسیم. به دلیل ماهیت قوانین هارمونی در موسیقی، منطق فازی می‌تواند ابزاری آینده‌دار به‌منظور نهادن نت‌های جدید به پارتیتورهای جدید باشد. انتخاب مقدارهای مناسب آستانه که در شکل‌های 4 و 5 از آن یاد شده است، موضوع بررسی‌های بیشتر برای به‌دست آوردن بهترین نتایج می‌باشد. برای سادگی و با توجه به ملاحظات فضا، بر تکنیک کنترپوان دوصدایی نت در مقابل نت تمرکز کردیم.

منطق فازی تنها به قوانین کنترپوان باروک محدود نیست و می‌تواند برای هارمونیزاسیون با درنظرگرفتن سایر جنبش‌های هنری (مانند کلاسیک، رومانتیک، 12 تونی و ....) به‌کار آید. همانطور که پیشتر عنوان شد، زیرساخت‌های ارائه‌شده به‌وسیل‍ۀ منطق فازی، دست را برای استفاده‌های گوناگون باز می‌گذارد. موضوعات مربوط به ارکستراسیون، بداهه‌نوازی یا حتی آهنگسازی را می‌توان با این روش به‌سامان ساخت.

پی‌نوشت‌ها