نگاهی به نوآوریهای محمّدباقر یزدی در ریاضیات و در زمینـﮥ اعداد متحاب و اعداد متعادل، در کتاب عیونالحساب
نویسنده: دکتر غلامرضا جمشیدنژاد اوّل
مقدّمه
یکی از ریاضیدانان برجستـﺔ دورة صفویّه (حک: 907ـ1148 ق/ 1502ـ1736 م) که با شاه عبّاس اوّل (حک: 996ـ1038ق/ 1588ـ1629م)، و شاه صفی (حک: 1038ـ1052ق/ 1629ـ1642م)، و شاه عبّاس دوم (حک: 1052ـ1077 ق/ 1642ـ1666م) معاصر بوده، ملاّ محمّدباقر بن زینالعابدین یزدی، ملقّب به خاتمالمهندسین است1 که علاوه بر آثار ارزندهای که در علم هیأت و دانشهای ریاضی تألیف کرده و شرحها و حاشیههایی نیز بر کتابهای ریاضی پیشینیان نوشته، نوآوریهایی نیز در نظریّههای اعداد داشته است که در این مقاله، به خصوص، برخی از نوآوریهای او را در زمینـﺔ عددهای متحاب و عددهای متعادل، به اختصار، بررسی خواهیم کرد.
از تاریخ تولّد وی گزارشی در دست نیست؛ امّا تاریخ اتمام کتاب عیونالحساب وی، برابر با سال 1047ق/ 1637م بوده است و قدیمترین مأخذی که از او با دعای «رحمةالله علیه» در آن یاد شده، کتاب ربیعالمنجّمین است که در بین سالهای 1069ـ1075ق/ 1659ـ1665م تألیف یافته است2 و بنابراین سال فوت او را، در همان حدود 1059ق/ 1657م، میتوان دانست.
1. آثار ریاضی محمّدباقر یزدی
در منابع، 11 کتاب از آثار ریاضی خاتمالمهندسین، علاّمه، محمّدباقر یزدی ذکر شده که از آنها نسخی خطّی موجود است، ولی متأسفانه، هنوز هیچ کدام مورد تصحیح و تحقیق کامل قرار نگرفتهاند، و آنها بدین شرحاند:
1. حاشیه بر کتاب الأکر، تألیف ثاوذو سیوس3 به زبان عربی موجود در کتابخانـﺔ عمومی فرهنگ و هنر شهر مشهد، شمـ: (الف/ 33) که در تاریخ ذیحجّـﺔ 1059ق/ [1649م] کتابت شده است و در بیشتر صفحههای آن حاشیهها و توضیحهایی به امضای «محمّدباقر» وجود دارد4، نیز نسخـﺔ خطّی دیگری از شرح بر الأکر ثاوذوسیوس تألیف محمّدباقر یزدی موجود است که سزگین5 به معرّفی آن پرداخته است؛
2. حاشیه بر کتاب الأکر تألیف منالاووس اسکندرانی، ریاضیدان سدة نخست میلادی، که نسخههای از آن در کتابخانـﺔ خانقاه نعمةالهی در تهران شمـ: (267) موجود است و نسخـﺔ دیگری6 هم به وسیلـﺔ سزگین معرّفی شده است7 و نیز یک نسخه از آن در کتابخانـﺔ مجلس موجود است.
3. حاشیه بر تحریر خواجه نصیرالدین طوسی (597ـ672 ق/ 1201ـ1273م)، از کتاب الکرة و الأسطوانة، که یک نسخه از آن، شمـ: (1/171) در کتابخانـﺔ مجلس موجود است.8
4. حاشیه بر تحریر خواجـﺔ طوسی از کتاب الأشکال الکریّة، تألیف منالاووس اسکندرانی که وجود نسخهای از آن در یک کتابخانـﺔ خصوصی گزارش شده9 و سزگین هم به معرّفی نسخهای از آن پرداخته است10. قربانی از آن به عنوان شرح کتاب الأشکال الکریة یاد کرده است11؛
5. حاشیه بر تحریر خواجـﺔ طوسی از کتاب المخرطات آپولونیوس، ریاضیدان سدة سوم پیش از میلاد12؛
6. حاشیه بر التکملة فی شرح التذکرة شمسالدین محمد خَفری، در علم هیأت13؛
7. حاشیه بر تحریر خواجـﺔ طوسی از کتاب الکرة المتحرکة، تألیف اوطولوقوس بیثانی، ریاضیدان سدة چهارم پیش از میلاد14؛
8. شرح المقالة العاشرة [من تحریر خواجه نصیر] لأصول أقلیدس، در این شرح علاّمه یزدی، به ترتیب، جملههایی از مقالـﺔ دهم تحریر اقلیدس طوسی را نقل کرده و پس از نقل هر جمله، به شرح و نقادی آن پرداخته است.
از این شرح چندین نسخـﺔ خطّی موجود است، از جمله: نسخـﺔ شمارة (2/32) کتابخانـﺔ مجلس15؛ و نسخـﺔ شمارة (13/690) مدرسـﺔ سپهسالار تهران (مدرسه عالی شهید مطهّری) و ...16
9. کتاب عیونالحساب، که بعداً، به شرح و توضیح در باب آن خواهیم پرداخت؛
10. فتوحات غیبیّه، تنها همین اثر علاّمـﺔ یزدی به زبان فارسی است و آن در ذکر برهانها و شرح کتاب اعمال هندسی ابوالوفای بوزجانی (328ـ387ق/ 940ـ997 م) است و نسخـﺔ خطّی آن، در کتابخانـﺔ آستان قدس رضوی، شمـ: (5371) موجود است17؛
11. کتاب مطالع الأنوار در علم هیأت18.
2. عیونالحساب
2ـ1. نسخههای موجود
علامّـﺔ یزدی، عیونالحساب را در سال 1047ق/ 1637 م به پایان رسانیده است و امروزه، از آن نسخههای خطّی متعدّدی موجود است، از جمله: نسخههای کتابخانـﺔ مجلس، به شمارههای: (6017؛ 6045؛ 6248؛ 6251)، نسخههای کتابخانـﺔ ملّی ملک، به شمارههای: (3164؛ 3206؛ 3368)، و نسخههای کتابخانـﺔ مرکزی دانشگاه تهران، به شمارههای: (464؛ 41/4789) و ...؛ فیلم آن نیز در دانشگاه تهران به شمارة: (2/2507) موجود میباشد.19
2ـ2. بابها و مبحثهای عیونالحساب
عیونالحساب مشتمل است بر یک مقدمه و هفت باب که هر باب نیز به چند مطلب تقسیم شده است: مقدّمه، در تعریف و تقسیم عدد؛
1. باب اوّل، در حساب عددهای صحیح، و دارای سیزده مطلب؛
2. باب دوم، در حساب کسرها، مشتمل بر یک مقدّمه و سیزده مطلب؛
3. باب سوم، در حساب اهل نجوم با نشانهها و جدولهای نجومی و تبدیل کسرهای هندی و ستّینی و سیاقی به یکدیگر، مشتمل بر دو مقدّمه و شش مطلب؛
4. باب چهارم، در مساحت، مشتمل بر یک مقدّمه و شش مطلب؛
5. باب پنجم، در استخراج مجهولات با تناسب؛
6. باب ششم، در استخراج مجهولات با خطأین؛
7. باب هفتم، در جبر و مقابله، مشتمل بر مقدّمه و شش مطلب.
در پایان باب هفتم عیون الحساب، نیز فصلهایی در قاعدههای کلّی حساب، آمده، بدین ترتیب:
1) فصلی در 49 مسأله؛ 2) فصلی در استخراج عددهای تامّ؛ 3) فصلی در استخراج عددهای زاید و ناقص؛ 4) فصلی در استخراج عددهای متحابّ؛ 5) فصلی در بیان نسبتها.
در نهایت، 148 مسأله دربارة ترکیب و تحلیل و استخراج وصایا و جز اینها، حلّ شده است.
در یکی از نسخههای خطّی عیونالحساب، ذیلی دربارة برهانی برای به دست آوردن عددهای متحاب نیز وجود دارد20، و به نظر میرسد که علاّمه یزدی بعد از اتمام تألیف عیونالحساب، خودش آن ذیل را برای کتاب نوشته است.
فصل مربوط به استخراج عددهای متحاب، در مجلـﺔ تاریخ العلوم عندالعرب21، به چاپ رسیده است.
2ـ3. ترجمـﺔ فارسی عیونالحساب
عیون الحساب، به قلم محمّدباقر بن میراسماعیل حسینی خاتون آبادی، به زبان فارسی ترجمه شده است و نسخـﺔ خطی این ترجمه در کتابخانـﺔ مجلس موجود است22 و در صفحـﺔ عنوان آن: شرح عیونالحساب، نوشته شده است.
کار ترجمـﺔ عیونالحساب، به دستور میرزا ابراهیم مستوفی از اعیان دربار صفویه صورت گرفته است.23
2ـ4. شرحهای عیون الحساب
(ا) کفایةالألباب فی شرح مشکلات عیون الحساب
نوادة علاّمه یزدی، مؤلف عیونالحساب، که همچون جدّ خود، محمّدباقر نام داشت نیز از ریاضیدانان بود و نام کاملش: محمّدباقر بن محمّد حسین بن محمدباقر یزدی است. او در 1106ق/ 1695م شرحی به زبان عربی بر کتاب عیون الحساب جدّ خویش نوشت و آن را کفایةالألباب24 فی شرح مشکلات عیونالحساب نامید.25
قربانی دربارة این شرح مینویسد:
«نسخـﺔ اصل مسوّده «کفایةاللباب» به خطّ دست مؤلف آن فعلاً متعلّق به نویسندة این سطور است. از مطالعـﺔ مقدّمـﺔ این نسخه معلوم میشود که تألیف آن در زمان سلطان سلیمان اول از سلاطین صفویه شروع شده و در 1106 [ق/ 1694م] پایان یافته است. زیرا مؤلّف، ابتدا در مقدّمـﺔ کتاب نام شاه سلیمان را آورده و بعداً چون در زمان پایان یافتن کتاب، پادشاه مذکور درگذشته بوده است، در مقدمه روی اسم سلیمان خط کشیده و بالای آن «حسین» نوشته و کتاب را به شاه سلطان حسین (حک: 1105ـ1135ق/ 1694ـ1723م) تقدیم کرده است. مؤلف در پایان نسخه نوشته است: تمّ فی سنـﺔ 1106.26
از کفایّةالألباب یک نسخه، به شمارة (465) در کتابخانـﺔ مرکزی دانشگاه تهران موجود است27.
(ب) تکملةالعیون
بر عیونالحساب علامه یزدی، یکی دیگر از ریاضیدانان معروف ایرانی، به نام ملاّ محمّد مهندس اصفهانی (د: 1293ق/ 1876م) نیز شرحی نوشته و آن را به نام تکملةالعیون، موسوم گردانیده است.28
3. شمّهای از نوآوریهای ریاضی محمّدباقر یزدی، به خصوص در زمینـﺔ اعداد متحاب و اعداد متعادل
مهمترین اثر ریاضی محمّدباقر یزدی ـ چنان که دریافتیم ـ کتاب عیون الحساب اوست، و به نظر میرسد که یزدی آن را به تقلید از مفتاح الحساب غیاث الدین جمشید کاشانی تألیف کرده است، لیکن همان طور که خودش هم اشاره کرده، در آن به حلّ بعضی از معادلات جبری توفیق یافته که پیش از او برای ریاضیدانان میسّر نشده بود؛ همچنین در باب اعداد متحاب و اعداد متعادل، نوآوریهایی بیسابقه ارائه داده است و بدین ترتیب ملاحظه میشود که در عیون الحساب مطالبی هست که در مفتاح الحساب دیده نمیشوند. مثلاً، یزدی در مطلب دوازدهم از باب اوّل کتاب خود، حالتهای خاصّی از معادلـﺔ درجـﺔ پنجم را حلّ کرده است که در اینجا به برخی از آنها اشاره میکنیم:
3ـ1. استخراج ریشـﺔ اوّلِ مُضَلَّعات زاید و ناقص
عنوان مطلب دوازدهم از باب اوّل عیون الحساب، این است: «المطلب الثانی عشر، فی استخراج الضلع الأوّل للمُضَلّعات الزائدة و الناقصة = مطلب دوازدهم، در استخراج ریشـﺔ اوّل از مضلّعات زاید و ناقص» و مقصود یزدی، از مضلّعات زاید و ناقص، عبارتهایی جبری است، مثلاً، بدین صورت:
4X (123+X)؛ و یا 4X (144+2X)؛ و ...
معادلاتی که یزدی، زیر عنوان نامبرده، حل کرده است، عبارتند از:
2014339661876= 4X(213+X) (1
تعبیر عربی این معادله در عیون الحساب چنین است:
«أردنا أن نستخرج الضلع الأوّل لهذا العدد: 2014339661876 علی أنّه مال الکعب الزائد الذی حصل من ضرب مایزید علی الضلع بمأتین و ثلاثة عشر فی مال المال».
علاّمه یزدی، ریشه تقریبی این معادله را مساوی با 256 و باقی ماندة معادله را مساوی با 52 به دست آورده است؛ بدین معنی که اگر در ضرب چپ معادلـﺔ (1) به جای X عدد 256 را قرار دهیم و عمل کنیم، عدد حاصل 52 واحد از عدد سمت راست معادله کمتر خواهد بود.
149766319872432= 3X(144+2X) (2
ریشه 684=X باقی مانده: 432=r
5572125832018= }52+[76+(290+2X)X]X {X (3
ریشه: 354=X باقی مانده: 10=r
51614853092064=4X (564-X) (4
ریشه: 783=X باقی مانده: 0=r
1556956054875=4X(600-X) (5
ریشه: 675=X باقی مانده: 0=r
930376562500=4X(671-X) (6
ریشه: 675=X باقی مانده: 0=r
3ـ2. ابداع قاعدهای برای محاسبـﺔ ضرایب بسط دوجملهای
محمّدباقر یزدی در پایان مطالب دهم باب اول عیون الحساب، فصلی دارد، موسوم به: «فصلٌ، لاستخراج الفضل بین مضلّعی عددین تساوت منزلتهما» که موضوع آن محاسبـﺔ: an-bn به فرض معلوم بودن a و b و n است.
در این فصل یزدی، از خود قاعدهای ابداع کرده است که با آن محاسبـﺔ ضرایب بسط دوجملهای را شرح می‌دهد و ضرب جملـﺔ n اُم را، عیناً، مثل دستور فعلی به دست میآورد.29
***
3ـ3. محاسبـﺔ اعداد متحاب:
علاّمه یزدی در پایان مطلب ششم از باب هفتم عیونالحساب، فصلی آورده است، در استخراج اعداد متحاب. اعداد متحاب را، از دوران یونان باستان، ریاضیدانان میشناختند و دربارة آنها تئوریهای بسیاری نیز پرداخته شده بود؛ لیکن علاّمه محمّدباقر، پس از آن که قاعده معروف ثابت بن قرّه را برای محاسبـﺔ عددهای متحاب، بیان کرده، از خود نیز قاعدهای ابداع نمود که البته با قاعدة معمولی، اندک تفاوتی دارد. آن گاه وی، همین قاعده را به کار برده و از این طریق دو عدد متحاب: 9363584 و 9437056 را به دست آورده است.
این دو عدد را در اروپا، نخستین بار، دکارت، ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی در سال 1048ق/ 1638م به دست آورده، و میدانیم که یزدی تألیف عیونالحساب را در 1047ق/ 1637 م به پایان رسانیده است و قطعاً، او این دو عدد را پیش از آن تاریخ به دست آورده بوده است و بنابراین او چندسالی پیش از رنه دکارت، این کار را انجام داده است.
این فصل عیون الحساب که مربوط به عددهای متحاب میباشد ، به علّت اهمیّت ویژهای که دارد، در مجلّـﺔ تاریخ العلوم عندالعرب در سال 1982م، جلد 6، صفحههای 55ـ59 به چاپ رسیده است.
3ـ4. نظریههای تازة یزدی دربارة اعداد متعادل
چنان که میدانیم، شناخت عددهای متحاب و نظریهپردازی دربارة محاسبـﺔ آنها، به یونان باستان باز میگردد، امّا کشف اعداد متعادل را از کشفیّات مسلمانان دانستهاند.30
کتاب التکملة فی الحساب، تألیف ابومنصور عبدالقاهر بن طاهر بن محمّد بغدادی فقیه شافعی که در بغداد زاده شد و از کودکی در نیشابور بود و در اواخر عمر به اسفراین رفت ودر 429ق/ 1038م، در همان شهر، درگذشت، کهنترین متن ریاضی اسلامی است که برای نخستین بار، در آن از جفت عددهای متعادل، سخن به میان آمده است.
پس از عبدالقاهر بغدادی، در هیچ متنی، تا سدة 11ق/ 17م، هیچ کس اشارهای به این اعداد نکرده است؛ تا این که به محمّدباقر یزدی و متن ارزشنمد عیون الحساب او، در این روزگار میرسیم که وی، باری دیگر، همان مطالب را (به احتمال قوی، بدون اطّلاع از اثر بغدادی) مجدّداً کشف کرد و مانند عبدالقاهر دربارة اعداد متعادل سخن گفت و نظریّات تازهای نیز دربارة این اعداد مطرح کرد.
دکتر علی رضا جعفری نایینی، نخستین محقّق معاصری است که در هنگام تألیف رسالـﺔ دکترای خود: تاریخ نظریـﺔ اعداد در شرق (به زبان آلمانی)، به بخشهایی از کتاب عیون الحساب محمّدباقر یزدی که اعداد متعادل در آنها مطرح شده بودند، توجّه کرد و چندی بعد، همین مطالب را در التکملة فی الحساب بغدادی نیز پیدا کرد.
محقّق نامبرده، مقالهای به زبان انگلیسی نیز دربارة «عددهای متعادل» که ذکر آنها در عیونالحساب یزدی آمده31، نوشته است که در جلد هفتم مجلـﺔ تاریخ العلوم عندالعرب، 1983م به چاپ رسیده است.
تعریف اعداد متعادل، چنین است: «دو عدد را متعادل گویند، هرگاه مجموع اجزای آنها با هم برابر باشد». در واقع اعداد متعادل در قیاس با اعداد متحاب تعریف شدهاند.
تعریف اعداد متحاب نیز، بدین قرار است: «دو عدد را متحاب گویند، هرگاه مجموع اجزای یکی برابر با دیگری باشد».
منظور از «اجزای عدد» در تعریفهای فوق، همـﺔ شمارندههای یک عدد به جز خود آن است.
به طور مثال:
دو عدد 220 و 284 متحاب هستند، زیرا:
284=110+55+44+22+11+20+10+5+4+2+1=(220)σ
220=142+71+4+2+1=(284)σ
و دو عدد 39 و 55 متعادل هستند، زیرا: (39)Q= (55)σ
17=13+3+1=(39)σ
17=11+5+1=(55)σ
پینوشتها
1. سیدجلالالدین تهرانی، گاهنامـﺔ 1311، ص 169.
2. فهرست رضوی، 8/153؛ تهرانی، همانجا؛ فهرست دانشگاه تهران، 3/921؛ دکتر ذبیحالله صفا، تاریخ ادبیات، 5/349.
3. در باب الأکر ثاوذوسیوس، نک: قاضی صاعد آندلسی، لتعریف بطبقات الأمم به کوشش دکتر غلامرضا جمشیدنژاد اول، تهران، نشر میراث مکتوب، 1376، ص 180.
4. قربانی، زینالعابدین، ریاضیدانان ایرانی، 441.
5. سزگین V/15 و GAS.
6. سزگین، همانی؛ فهرست کتابخانـﺔ خانقاه نعمت اللهی 20/14.
7. فهرست مجلس، 2/93.
8. قربانی، 440.
9. قربانی، 441؛ نشریه دانشگاه تهران، 3/187، 188.
10. سزگین، V/163 و GAS.
11. قربانی، همانجا.
12. دکتر صفا، 3/269ـ270، 5/350.
13. دربارة کتاب التذکرة فی علم الهیأة، تألیف خواجه نصیر طوسی و شرحهای آن، از جمله: همین کتاب التکملة خَفری، نک: عبدالله نعمه، فلاسفة الشیعه، 494؛ حاجی خلیفه، کشف الظنون، 1/276ـ277؛ حلبی، علی اصغر، تاریخ فلاسفـﺔ ایرانی، 581ـ582.
14. صفا، 3/263، 5/350.
15. فهرست مجلس، 7/149.
16. فهرست سپهسالار، 5/208؛ سزگین، V/115 و GAS
17. قربانی، 440؛ صفا، 1/334، 5/350.
18. صفا، 5/349.
19. فهرست مجلس، 19/8، 35، 217، 218، 224.
20. نسخـﺔ شمـ : (6248) مجلس (فهرست مجلس، 19/218).
21. سال 1982 م، 6/55ـ59.
22. فهرست مجلس، 6/107.
23. فهرست فارسی، 1/149.
24. قربانی نام آن را کفایةاللباب آورده، که غلط است.
25. صفا، 5/349.
26. قربانی، 440.
27. فهرست دانشگاه، 3/932.
28. صفا، 5/349.
29. حکیم عمر خیّام نیشابوری نیز برای «بسط دوجملهای» دستوری دارد. در این باب، نک: قربانی، «مثلّث حسابی خیّام و دستور دوجملهای خیّام»، مجلـﺔ سخن، شمارة 10، دورة دهم، دی ماه 1338 شمسی، صص 1097ـ1105.
30. دکتر علی رضا جعفری نایینی، نخستین محقق معاصری است که به موضوع اعداد متعادل و کشف آنها توسط مسلمانان پرداخته است.
31. A New Type of Numbers in Aseventeenth Century Manuscript: Al-Yazdi on Numbere of Equal Weight.